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无穷级数是当 n 趋向于无穷大时，几何级数前 n 项的和的极限值。
无穷级数求和公式：\( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \)
其中：a 是首项，r 是公比，且 |r| < 1
几何级数收敛当且仅当 \( |r| < 1 \)
你也可以将这个条件写成 \( -1 < r < 1 \)
当 \( |r| < 1 \) 时，\( r^n \rightarrow 0 \) 当 \( n \rightarrow \infty \)
题目：几何级数的第4项是1.08，第7项是0.23328。
a) 证明这个级数是收敛的。
b) 求级数的无穷和。
解答：
a) \( ar^3 = 1.08 \) ... (1)
\( ar^6 = 0.23328 \) ... (2)
方程(2)除以方程(1)：\( r^3 = 0.216 \)
\( r = 0.6 \)
级数是收敛的，因为 \( |r| = 0.6 < 1 \)。
b) \( a = 5 \)，\( S_{\infty} = \frac{5}{1-0.6} = 12.5 \)
题目：几何级数的首项是 a，公比是 r，\( S_4 = 15 \) 且 \( S_{\infty} = 16 \)。
a) 求 r 的可能值。
b) 给定级数中所有项都是正数，求 a 的值。
解答：
a) \( \frac{a(1-r^4)}{1-r} = 15 \) ... (1)
\( \frac{a}{1-r} = 16 \) ... (2)
联立求解：\( r = \pm\frac{1}{2} \)
b) 因为所有项都是正数，\( r = +\frac{1}{2} \)
\( a = 8 \)
题目：求等于循环小数 0.23 的分数。
解答：
\( 0.23 = \frac{23}{100} + \frac{23}{10000} + \frac{23}{1000000} + \ldots \)
这是一个首项 \( a = \frac{23}{100} \)，公比 \( r = \frac{1}{100} \) 的几何级数。
\( S_{\infty} = \frac{\frac{23}{100}}{1-\frac{1}{100}} = \frac{23}{99} \)
所以 \( 0.23 = \frac{23}{99} \)
几何级数的首项是10，无穷和是30。求公比。
\( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 30 \)
\( \frac{10}{1-r} = 30 \)
\( r = \frac{2}{3} \)
几何级数的无穷和是60，公比是 \(\frac{2}{3}\)。求首项。
\( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 60 \)
\( \frac{a}{1-\frac{2}{3}} = 60 \)
\( a = 20 \)
几何级数 \( a + ar + ar^2 + \ldots \)，\( S_3 = 9 \) 且 \( S_{\infty} = 8 \)，求 a 和 r 的值。
\( S_3 = \frac{a(1-r^3)}{1-r} = 9 \) ... (1)
\( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 8 \) ... (2)
联立求解：\( r = -\frac{1}{2} \)，\( a = 12 \)
无穷级数有极限，公比绝对值要小于一
收敛条件要记牢，|r| < 1 才收敛
求和公式很简单，首项除以一减公比
循环小数转分数，几何级数来帮忙
发散级数无极限，收敛级数有定值